Metodi analitici e computazionali nella risoluzione del problema del tempo di primo passaggio per processi diffusivi e di Gauss

Nel 1971 ad opera di Blake e Lindsey compare un articolo di rassegna nel quale si illustrano alcuni problemi, collegati alla dinamica di certi processi stocastici, non ancora del tutto risolti. Uno di questi è quello che gli autori chiamano “level-crossing problem” che è relativo alla determinazione di proprietà probabilistiche del tempo T necessario ad un processo per raggiungere per la prima volta una (o una di due) barriera in generale essa stessa dipendente dal tempo. Nel medesimo articolo gli autori espongono i risultati all’epoca noti e le tecniche che usualmente venivano impiegate per affrontare il problema. La conclusione a cui essi pervengono è che la soluzione completa della questione, ossia la determinazione della funzione di densità di probabilità di T è ottenibile solo quando, con opportuna trasformazione spazio-temporale ci si riconduce al processo di Wiener e a una barriera lineare. Nel caso generale o si ricorre alla stima di importanti indici di T oppure si tenta di ottenere maggiorazioni o minorazioni per la probabilità che il primo passaggio avvenga prima di un assegnato istante. Successivamente, nel 1986, Abrahams ha aggiornato la rassegna di Blake e Lindsey, ma, come l’autrice stessa fa notare, relativamente al “level-crossing problem” pochi furono i risultati nel frattempo individuati; tra questi, la Abrahams cita quelli relativi a processi di gauss non markoviani con contributi da Durbin e da Ricciardi. Nella presente tesi di dottorato il problema del tempo di primo passaggio viene analizzato relativamente ai processi di diffusione e a processi di Gauss non markoviani. Per i primi viene determinata una equazione integrale di Volterra di seconda specie avente per incognita la funzione di densità di probabilità di T : la sua utilità consiste nella presenza del suo nucleo di una funzione arbitraria la cui opportuna specificazione consente di ottenere tutte le soluzione analitiche note. In più, la funzione arbitraria può essere scelta in modo da rendere il nucleo nullo sulla bisettrice del primo quadrante e questo elimina la singolarità presente invece in altre equazioni integrali in precedenza individuate. Tale proprietà consente di ottenere semplici ed efficaci procedure di calcolo numerico atte ad essere utilizzate, con tempi ragionevolmente piccoli, in problemi di identificazione e stima dei parametri. Lo stesso tipo di analisi viene presentato anche relativamente al caso del problema con due barriere. Relativamente ai processi di Gauss non markoviani viene presentato un metodo Monte Carlo utilizzabile senza l’ausilio di dispositivi fisici che differenti autori hanno utilizzato in precedenti proposte dello stesso tipo.