Stabilità, biforcazione e relative tecniche computazionali

La tesi ha per oggetto la stabilità delle soluzioni di un sistema di equazioni differenziali ordinarie, l'analisi delle situazioni in cui esse esibiscono biforcazione nonché l'impiego di alcuni metodi perturbativi per la determinazione di soluzioni analitiche approssimate quando non si è in grado di esibire la soluzione in forma chiusa. La tesi è articolata in sei capitoli. Il Capitolo 1 è dedicato ai primi elementi di teoria delle equazioni differenziali ordinarie, in particolare ai sistemi autonomi e a quelli lineari a coefficienti costanti. Inoltre, in questo capitolo, si descrivono alcuni programmi che integrano numericamente un sistema di equazioni e, nel caso autonomo, disegnano il ritratto di fase in due e tre dimensioni. Nel Capitolo 2 si affronta il problema della stabilità, nel senso di Liapunov, e si enunciano alcuni teoremi che forniscono condizioni sufficienti per la stabilità (asintotica e neutra) e instabilità. La teoria che soggiace al metodo diretto, alla costruzione di funzioni polinomiali di Liapunov e all'ana-lisi lineare della stabilità è la base di alcuni programmi, simbolici e/o numerici, scritti in ambiente Mathematica. Nel Capitolo 3 viene affrontato il problema della stabilità nei casi critici con il procedimento di Poincaré-Liapunov e con il metodo della varietà centrale. Inoltre, in questo capitolo sono presentati alcuni programmi che automatizzano le suddette procedure. Il Capitolo 4 è dedicato alla teoria della biforcazione per un'equazione scalare dipendente da uno o due parametri e per un sistema planare dipendente da un parametro in presenza della biforcazione di Hopf. L'esistenza di soluzioni periodiche e le proprietà di stabilità orbitale sono indagate con il metodo di Fourier e le mappe di Poincaré. L'analisi fatta in questo capitolo è supportata da otto programmi di calcolo. Le tecniche perturbative di Poincaré e Lindstedt-Poincaré sono oggetto del Capitolo 5 assieme alla descrizione di alcuni programmi che automatizzano queste tecniche. Infine, il Capitolo 6 è dedicato allo studio della stabilità di alcuni moti di un solido con un punto fisso, nonchè alla determinazione di soluzioni analitiche approssimate delle equazioni di Eulero, mediante tecniche perturbative. In riferimento a questo capitolo, sono presentati programmi che consentono di studiare la dinamica di un solido con un punto fisso con particolare attenzione ai moti per inerzia. Inoltre, è descritto un programma che consente di confrontare le soluzioni numeriche con quelle analitiche approssimate al secondo ordine con metodi perturbativi, in riferimento ai moti di un solido in rapida rotazione iniziale attorno ad un asse permanente stabile. Come si è detto, ad ogni capitolo sono associati programmi di calcolo, numerico e/o simbolico, che automatizzano le procedure descritte.