Fondamenti geometrici per la matematica

Presupposto di questa trattazione è l'ipotesi che tutte le strutture matematiche non sarebbero state concepite da una mente che non ha relazioni con il mondo esterno attraverso un corpo capace di interagire con esso, e la geometria rappresenta l'ambito della matematica che ha più forte connessione con la realtà sensibile. In questo testo partendo dalla geometria euclidea si ottengono per astrazione da oggetti geometrici i numeri (dai naturali ai complessi) e in più tutto il nucleo della matematica, immutabile, al di là dei diversi paradigmi succedutisi nel corso della sua storia. Il percorso individuato, originale, aderente ai recenti sviluppi delle scienze cognitive e accessibile anche ad un lettore non specialista, prende le mosse dalla geometria degli Elementi di Euclide rivisitandone le nozioni alla luce degli sviluppi odierni della matematica e ponendo in risalto il legame tra numeri e geometria attraverso le configurazioni dei Teorema di Talete, Teorema di Pappo e Teorema di Desargues. I contenuti della geometria euclidea vengono tradotti in termini di calcolo geometrico tra punti del piano ottenendo nel piano euclideo la struttura di campo (dei complessi) senza coinvolgere il concetto di numero ma utilizzando solo gli enti primitivi della geometria euclidea e gli assiomi ad essi relativi. A partire da questa struttura si individuano la struttura affine e metrica del piano euclideo e attraverso la struttura affine si perviene in modo naturale al classico metodo delle coordinate. Il calcolo geometrico introdotto consente anche di dimostrare una versione del Teorema di Pitagora relativa a lunghezze di segmenti e non ad aree in un ambito puramente geometrico. La corrispondente versione del Teorema di Carnot che si ottiene individua per via puramente geometrica il prodotto scalare correlato alla metrica introdotta geometricamente nel piano euclideo. Le Appendici sono dedicate perlopiù agli sviluppi della teoria precedentemente svolta: vengono trattate la teoria elementare dei numeri e della misura, la geometria euclidea dello spazio, la geometria analitica nel piano e nello spazio, gli spazi vettoriali euclidei di dimensione superiore a tre con applicazione ai sistemi lineari.